logo ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Avec cedram.org

Table des matières de ce volume | Article précédent | Article suivant
Jean Dieudonné; Laurent Schwartz
La dualité dans les espaces $({\cal F})$ et $({\cal L}{\cal F})$
Annales de l'institut Fourier, 1 (1949), p. 61-101, doi: 10.5802/aif.8
Article PDF | Analyses MR 12,417d | Zbl 0035.35501 | 13 citations dans Cedram

Résumé - Abstract

L’objet du mémoire est l’extension des propriétés classiques des espaces de Banach à deux catégories d’espaces plus vastes, qui interviennent de manière essentielle dans la théorie des Distributions : les espaces $({\cal F})$, qui sont définis comme les espaces localement convexes, métrisables et complets, et les espaces $({\cal L}{\cal F})$ qui s’obtiennent à partir des espaces $({\cal F})$ par un processus de ``limite inductive’’ : un tel espace est réunion d’une suite croissante $(F_n)$ d’espaces $({\cal F})$, muni de la topologie la plus fine induisant sur chacun des $F_n$ sa topologie propre. Pour un tel espace $E$, on définit son dual $E^{\prime }$ comme l’espace vectoriel de toutes les formes linéaires $x^{\prime }$ continues dans $E$, et on pose $\langle x,x^{\prime }\rangle = x^{\prime }(x)$ pour $x\in E$, $x^{\prime }\in E^{\prime }$. Pour développer la théorie de la dualité, on munit $E^{\prime }$ d’une topologie (dite topologie forte) définie de la façon suivante : un ensemble $B$ dans un espace vectoriel topologique étant dit borné quand tout voisinage de $0$ contient un homothétique de $B$ (dans un rapport $>0$ assez petit), la topologie forte sur $E^{\prime }$ est la topologie de la convergence uniforme des formes linéaires dans tous les ensembles bornés de $E$. Il y a alors une dualité remarquable entre ensembles bornés et voisinages de 0 dans les deux espaces $E$ et $E^{\prime }$ : appelons polaire d’un ensemble $A\subset E$ (resp. $A^{\prime }\subset E^{\prime }$) l’ensemble $A^0\subset E^{\prime }$ (resp. $A^{\prime 0}\subset E$) formé des $x^{\prime }\in E^{\prime }$ (resp. $x\in E$) tels que $\vert \langle x,x^{\prime }\rangle \vert \le 1$ pour tout $x\in A$ (resp. tout $x^{\prime }\in A^{\prime }$) ; alors les polaires des ensembles bornés dans $E$ (resp. $E^{\prime }$) sont les voisinages de 0 dans $E^{\prime }$ (resp. $E$) et réciproquement. Grâce à cette propriété fondamentale, on peut développer, comme dans les espaces de Banach, les relations entre dualité forte et dualité faible, obtenir entre autres la condition pour qu’un espace $({\cal F})$ ou $({\cal L}{\cal F})$ soit réflexif (c’est-à-dire identique au dual de son dual fort), étudier la dualité des sous-espaces et espaces quotients, et les fonctions linéaires et bilinéaires définies dans des espaces $({\cal F})$ ou $({\cal L}{\cal F})$ ou dans leurs duals ; les résultats généralisant presque complètement les propriétés correspondantes des espaces de Banach.

Bibliographie

[1] R. ARENS, Duality in linear spaces, Duke Math. Journ., t. 14 (1947), p. 787-794. Article |  MR 9,241a |  Zbl 0030.03403
[2] S. BANACH, Théorie des opérations linéaires, Warszawa, 1932.  Zbl 0005.20901 |  JFM 58.0420.01
[3] N. BOURBAKI, Éléments de Mathématique, livre II : Algèbre (Act. Scient. et Ind., nos 934, 1032 et 1044, Paris (Hermann), 1943-1948).
[4] N. BOURBAKI, Éléments de Mathématique, livre III : Topologie générale (Act. Scient. et Ind., nos 858, 916, 1029, 1045 et 1084, Paris (Hermann), 1940-1949).
[5] J. DIEUDONNÉ, La dualité dans les espaces vectoriels topologiques, Annales de l'École Normale Supérieure, t. 59 (1942), p. 107-139. Numdam |  MR 6,178g |  Zbl 0027.32101 |  JFM 68.0238.02
[6] J. DIEUDONNÉ, Natural homomorphisms in Banach spaces, Proceedings of the American Mathematical Society, t. 56 (1950).  MR 11,524e |  Zbl 0035.35403
[7] W. F. EBERLEIN, Weak compactness in Banach spaces, I, Proceedings of the National Academy of Sciences, t. 33 (1947), p. 51-53.  MR 9,42a |  Zbl 0029.26902
[8] V. GANAPATHY IYER, On the space of integral functions, I, Journal of the Indian Mathematical Society, t. 12 (1948), p. 13-30.  MR 10,380b |  Zbl 0031.12802
[9] A. KOLMOGOROFF, Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes, Studia Mathematica, t. 5 (1935), p. 29-33. Article |  Zbl 0010.18202
[10] G. KÖTHE, Die Stufenraüme, eine einfache Klasse linearer vollkommener Raüme, Mathematische Zeitschrift, t. 51 (1948), p. 317-345.  Zbl 0031.03402
[11] G. W. MACKEY, On infinite-dimensional linear spaces, Transactions of the American Mathematical Society, t. 57 (1945), p. 155-207.  MR 6,274d |  Zbl 0061.24301
[12] G. W. MACKEY, On convex topological linear spaces, Transactions of the American Mathematical Society, t. 60 (1946), p. 520-537.  MR 8,519d |  Zbl 0061.24302
[13] L. SCHWARTZ, Théorie des Distributions, Paris, Hermann, 1950.  MR 12,31d |  Zbl 0037.07301
[14] V. ŠMULIAN, Über lineare topologische Raüme, Mat. Sbornik, N. S., t. 7 (1941), p. 425-448.  MR 2,102e |  Zbl 0023.32603 |  JFM 66.0526.02
haut