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Steven Zelditch
Maximally degenerate laplacians
Annales de l'institut Fourier, 46 no. 2 (1996), p. 547-587, doi: 10.5802/aif.1524
Article PDF | Analyses MR 97h:58171 | Zbl 0853.58101

Résumé - Abstract

Le laplacien $\Delta _g$ d’une variété riemannienne compacte $(M,g)$ est dit maximalement dégénéré (MD) si la fonction $m_k(g)$ de multiplicité des valeurs propres est de croissance maximale parmi les métriques de même dimension et volume. Les sphères canoniques $(S^n,{\rm can})$ et les CROSS sont MD, et on se demande s’ils sont les seuls exemples. Nous montrons qu’une métrique MD doit au moins être une métrique de Zoll, avec une seule valeur propre distincte dans chaque accumulation, et donc avec toutes les invariants de bandes égaux à zéro. L’invariant principal de bande est calculé en termes d’intégrales géodésiques de courbure et des champs de Jacobi, donnant une condition locale métrique pour la dégénérescence maximale. Dans des cas spéciaux (surfaces de révolution, espaces projectifs réels), on démontre que les métriques MD sont des CROSS.

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