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Manfred Kolster; Abbas Movahhedi
Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation
Annales de l'institut Fourier, 50 no. 1 (2000), p. 35-65, doi: 10.5802/aif.1746
Article PDF | Analyses MR 2001d:11115 | Zbl 0951.11029 | 5 citations dans Cedram

Résumé - Abstract

Soient $F$ un corps de nombres et $o_F$ l’anneau des entiers de $F$. Pour un nombre premier fixé $p$ et $i \ge 2$, les noyaux sauvages étales $WK^{{\rm \acute{e}t}}_{2i-2}(F)$ sont définis comme étant les noyaux de certaines applications de localisation des groupes de cohomologie étale de ${\rm spec}\,o_F[{1\over p}]$ à coefficients dans le $i$-ème ``tordu" de Tate de ${\bf Z}_p$. Ces groupes sont finis et coïncident, pour $i=2$, avec la partie $p$-primaire du noyau sauvage classique $WK_2(F)$. Ces noyaux sauvages $WK^{{\rm \acute{e}t}}_{2i-2}(F)$ jouent des rôles symétriques aux $p$-parties du groupe des classes de $F$. Pour le groupe des classes, la co-descente galoisienne dans une extension cyclique $L/F$ est décrite par la formule des classes ambiges donnée par la théorie des genres. Dans cette formule, le seul facteur qu’on maîtrise difficilement est l’indice normique $[U^{\prime }_F:U^{\prime }_F \cap N_{L/F}(L^*)]$ pour les $p$-unités $U^{\prime }_F$. Le but principal de cet article est l’étude de la co-descente galoisienne pour les noyaux sauvages : Étant donnée une extension cyclique $L/F$ de degré $p$ de groupe de Galois $G$, on montre que l’application de transfert $WK^{{\rm \acute{e}t}}_{2i-2}({L})_G \rightarrow WK^{{\rm \acute{e}t}}_{2i-2}({F})$ est surjective sauf dans un cas très particulier, puis on réalise son noyau comme le conoyau d’un certain cup-produit à valeurs dans un groupe de Brauer. La méthode permet également d’obtenir pour les noyaux sauvages une formule analogue à celle des classes ambiges où les $p$-unités $U^{\prime }_F$ sont remplacées par les groupes de $K$-théorie impairs. Lorsque $p$ est impair, cette formule permet de trouver toutes les $p$-extensions de ${\bf Q}$ pour lesquelles la $p$-partie du noyau sauvage classique est triviale. Pour $p \ge 5$, elles s’avèrent être celles qui sont contenues dans la ${\bf Z}_p$-extension cyclotomique de ${\bf Q}$.

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