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Antoine Douai; Claude Sabbah
Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (I)
(Systèmes de Gauss-Manin, réseaux de Brieskorn et structures de Frobenius (I))
Annales de l'institut Fourier, 53 no. 4 (2003), p. 1055-1116
Article PDF | Analyses MR 2033510 | Zbl 1079.32016
Class. Math.: 32S40, 32S30, 32G34, 32G20, 34Mxx
Mots clés: système de Gauss-Manin, réseau de Brieskorn, variété de Frobenius
Nous associons à tout polynôme de Laurent $f$ commode et non dégénéré par rapport à son
polyèdre de Newton sur le tore complexe $({\Bbb C}^*)^n$ une structure de Frobenius-Saito
canonique sur la base de son déploiement universel. En suivant la méthode de K. Saito
(formes primitives) et de M. Saito (bonnes bases du système de Gauss-Manin), le problème
principal, qui est résolu dans cet article, consiste en l'analyse du système de Gauss-
Manin de $f$ (ou de son déploiement universel) et de la théorie de Hodge correspondante.
[1] B. Abdel-Gadir, “Applications of Grauert-Remmert A and B theorems”, Prépublication Institut Fourier, Grenoble, 1997
[2] B. Abdel-Gadir, “On the Fourier analysis of holonomic $\cal{D}$-modules”, Prépublication Institut Fourier, Grenoble, 1997
[3] S. Barannikov, “Semi-infinite Hodge structures and mirror symmetry for projective spaces”, e-print, math.AG/0010157, 2000
arXiv
[4] A. Borel (ed.), Algebraic $\cal {D}$-modules, Perspectives in Math. vol. 2, Academic Press, 1987 MR 882000 | Zbl 0642.32001
[5] A. Borel, Algebraic $\cal {D}$-modules, p. 207-352
[6] L. Boutet de Monvel, A. Douady & J.-L. Verdier (eds.), Séminaire E.N.S. Mathématique et Physique, Progress in Math., 1983
[7] T. Brélivet, “Topologie des polynômes, spectre et variance du spectre”, Thèse, Université de Bordeaux I, juin 2002
[8] J. Briançon, M. Granger, Ph. Maisonobe & M. Miniconi, “Algorithme de calcul du polynôme de Bernstein: cas non dégénéré”, Ann. Inst. Fourier 39 (1989), p. 553-610
Cedram | MR 1030839 | Zbl 0675.32008
[9] E. Brieskorn, “Die Monodromie der isolierten Singularitäten von Hyperflächen”, Manuscripta Math. 2 (1970), p. 103-161
Article | MR 267607 | Zbl 0186.26101
[10] S. A. Broughton, “Milnor number and the topology of polynomial hypersurfaces”, Invent. Math. 92 (1988), p. 217-241
Article | MR 936081 | Zbl 0658.32005
[11] R.-O. Buchweitz & G.-M. Greuel, “Milnor number and deformation of complex curve singularities”, Invent. Math. 58 (1980), p. 241-281
Article | MR 571575 | Zbl 0458.32014
[12] P. Deligne, Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lect. Notes in Math. vol. 163, Springer-Verlag, 1970 MR 417174 | Zbl 0244.14004
[13] A. Dimca, F. Maaref, C. Sabbah & M. Saito, “Dwork cohomology and algebraic $\cal {D}$-modules”, Math. Ann. 318 (2000), p. 107-125 MR 1785578 | Zbl 0985.14007
[14] A. Dimca & M. Saito, “Algebraic Gauss-Manin systems and Brieskorn modules”, Amer. J. Math. 123 (2001), p. 163-184 MR 1827281 | Zbl 0990.14004
[15] A. Douai, “Très bonnes bases du réseau de Brieskorn d'un polynôme modéré”, Bull. Soc. Math. France 127 (1999), p. 255-287
Numdam | MR 1708647 | Zbl 0935.32025
[16] A. Douai, “Notes sur les systèmes de Gauss-Manin algébriques et leurs transformés de Fourier”, Prépublication no 640, Université de Nice, janvier, 2002
[17] A. Douai & C. Sabbah, “Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (II)”, Preprint, 2002
arXiv | MR 2115764 | Zbl 1079.32017
[18] B. Dubrovin, Geometry of 2D topological field theory, Lect. Notes in Math., Springer-Verlag, 1996, p. 120-348 Zbl 0841.58065
[19] F. El Zein, “Théorie de Hodge des cycles évanescents”, Ann. Sci. École Normale Sup., 4e série 19 (1986), p. 107-184
Numdam | MR 860812 | Zbl 0538.14003
[20] A. Galligo, J.-M. Granger & Ph. Maisonobe (eds.), Systèmes différentiels et singularités, Astérisque vol. 130, Soc. Math. France, 1985 MR 804047
[21] M. Granger & Ph. Maisonobe, A basic course on differential modules, p. 103-168 Zbl 0853.32011
[22] C. Hertling, Frobenius manifolds and moduli spaces for singularities, Cambridge Tracts in Mathematics vol. 151, 2002 MR 1924259 | Zbl 1023.14018
[23] C. Hertling & Yu.I. Manin, “Weak Frobenius manifolds”, Internat. Math. Res. Notices (1999), p. 277-286 MR 1680372 | Zbl 0960.58003
[24] K. Hori & C. Vafa, “Mirror Symmetry”, e-print, hep-th/0002222, 2000
[25] M. Kashiwara, “On the holonomic systems of differential equations II”, Invent. Math. 49 (1978), p. 121-135
Article | MR 511186 | Zbl 0401.32005
[26] B. Kaup, Coherent $\cal {D}$-modules, p. 109-127
[27] A. Khovanskii & A.N. Varchenko, “Asymptotics of integrals over vanishing cycles and the Newton polyhedron”, Soviet Math. Dokl. 32 (1985), p. 122-127 Zbl 0595.32012
[28] A.G. Kouchnirenko, “Polyèdres de Newton et nombres de Milnor”, Invent. Math. 32 (1976), p. 1-31
Article | MR 419433 | Zbl 0328.32007
[29] Ph. Maisonobe & C. Sabbah (eds.), Images directes et constructibilité, Hermann, Paris, 1993
[30] Ph. Maisonobe & C. Sabbah (eds.), $\cal {D}$-modules cohérents et holonomes, Hermann, 1993
[31] B. Malgrange, Le faisceau des opérateurs différentiels, Institut Fourier, 1975
[32] B. Malgrange, Déformations de systèmes différentiels et microdifférentiels, p. 351-379 Zbl 0528.32016
[33] B. Malgrange, “Deformations of differential systems II”, J. Ramanujan Math. Soc. 1 (1986), p. 3-15 MR 945599 | Zbl 0687.32019
[34] B. Malgrange, Regular connexions after Deligne, p. 151-172
[35] B. Malgrange, Équations différentielles à coefficients polynomiaux, Progress in Math. vol. 96, Birkhäuser, 1991 MR 1117227 | Zbl 0764.32001
[36] B. Malgrange, Filtration des modules holonomes, Hermann, 1994, p. 35-41 Zbl 0843.58115
[37] B. Malgrange, “Connexions méromorphes II: le réseau canonique”, Invent. Math. 124 (1996), p. 367-387 MR 1369422 | Zbl 0849.32003
[38] B. Malgrange, On the extension of holonomic systems, World Sci. Publishing, 1996, p. 279-285 Zbl 0908.32004
[39] Yu.I. Manin, Frobenius manifolds, quantum cohomology and moduli spaces, Colloquium Publ., Amer. Math. Society, 1999 Zbl 0952.14032
[40] Z. Mebkhout, Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les $\cal {D}$-modules cohérents, Travaux en cours vol. 35, Hermann, 1989 MR 1008245 | Zbl 0686.14020
[41] Z. Mebkhout, “Le théorème de comparaison entre cohomologies de de Rham d'une variété algébrique complexe et le théorème d'existence de Riemann”, Publ. Math. I.H.E.S. 69 (1989), p. 47-89
Numdam | MR 1019961 | Zbl 0709.14015
[42] Z. Mebkhout & L. Narváez-Macarro, Le théorème de constructibilité de Kashiwara, p. 47-98 Zbl 0847.32012
[43] Z. Mebkhout & C. Sabbah, $\cal {D}$-modules et cycles évanescents, p. 201-239
[44] A. Némethi & C. Sabbah, “Semicontinuity of the spectrum at infinity”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 69 (1999), p. 25-35 MR 1722919 | Zbl 0973.32014
[45] A. Némethi & A. Zaharia, “On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary”, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 26 (1990), p. 681-689
Article | MR 1081511 | Zbl 0736.32024
[46] T. Oda, K. Saito's period map for holomorphic functions with isolated singularities, Advanced Studies in Pure Math., 1987, p. 591-648 Zbl 0643.32005
[47] F. Pham, Singularités des systèmes de Gauss-Manin, Progress in Math. vol. 2, Birkhäuser, 1980
[48] F. Pham, Vanishing homologies and the $n$ variable saddlepoint method, Proc. of Symposia in Pure Math., Amer. Math. Soc., 1983, p. 319-333 Zbl 0519.49026
[49] F. Pham, La descente des cols par les onglets de Lefschetz avec vues sur Gauss-Manin, p. 11-47 Zbl 0597.32012
[50] C. Sabbah, “Frobenius manifolds: isomonodromic deformations and infinitesimal period mappings”, Expo. Math. 16 (1998), p. 1-58 MR 1617534 | Zbl 0904.32009
[51] C. Sabbah, “Monodromy at infinity and Fourier transform”, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 33 (1998), p. 643-685
Article | MR 1489993 | Zbl 0920.14003
[52] C. Sabbah, “Hypergeometric period for a tame polynomial”, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math. 328 (1999), p. 603-608 MR 1679978 | Zbl 0967.32028
[53] C. Sabbah, Équations différentielles à points singuliers irréguliers et phénomène de Stokes en dimension 2, Astérisque vol. 263, Soc. Math. France, 2000 MR 1741802 | Zbl 0947.32005
[54] C. Sabbah, Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius, Savoirs Actuels, CNRS Éditions \& EDP Sciences, 2002 MR 1933784 | Zbl 01747107
[55] K. Saito, The higher residue pairings $K_F^{(k)}$ for a family of hypersurfaces singular points, Proc. of Symposia in Pure Math., Amer. Math. Soc., 1983, p. 441-463 Zbl 0565.32005
[56] K. Saito, “Period mapping associated to a primitive form”, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 19 (1983), p. 1231-1264
Article | MR 723468 | Zbl 0539.58003
[57] M. Saito, “Exponents and Newton polyhedra of isolated hypersurface singularities”, Math. Ann. 281 (1988), p. 411-417
Article | MR 954149 | Zbl 0628.32038
[58] M. Saito, “On the structure of Brieskorn lattices”, Ann. Inst. Fourier 39 (1989), p. 27-72
Cedram | MR 1011977 | Zbl 0644.32005
[59] M. Saito, “Mixed Hodge Modules”, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 26 (1990), p. 221-333
Article | MR 1047415 | Zbl 0727.14004
[60] M. Saito, “Period mapping via Brieskorn modules”, Bull. Soc. Math. France 119 (1991), p. 141-171
Numdam | MR 1116843 | Zbl 0760.32009
[61] P. Schapira, Microdifferential systems in the complex domain, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften vol. 269, Springer-Verlag, 1985 MR 774228 | Zbl 0554.32022
[62] P. Schapira & J.-P. Schneiders, Index theorem for elliptic pairs, Astérisque vol. 224, Soc. Math. France, 1994 Zbl 0856.58037
[63] J. Scherk & J.H.M. Steenbrink, “On the mixed Hodge structure on the cohomology of the Milnor fiber”, Math. Ann. 271 (1985), p. 641-655
Article | MR 790119 | Zbl 0618.14002
[64] J.H.M. Steenbrink & S. Zucker, “Variation of mixed Hodge structure I”, Invent. Math. 80 (1985), p. 489-542
Article | MR 791673 | Zbl 0626.14007
Antoine Douai; Claude Sabbah
Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (I)
(Systèmes de Gauss-Manin, réseaux de Brieskorn et structures de Frobenius (I))
Annales de l'institut Fourier, 53 no. 4 (2003), p. 1055-1116
Article PDF | Analyses MR 2033510 | Zbl 1079.32016
Class. Math.: 32S40, 32S30, 32G34, 32G20, 34Mxx
Mots clés: système de Gauss-Manin, réseau de Brieskorn, variété de Frobenius
Résumé - Abstract
Bibliographie
[2] B. Abdel-Gadir, “On the Fourier analysis of holonomic $\cal{D}$-modules”, Prépublication Institut Fourier, Grenoble, 1997
[3] S. Barannikov, “Semi-infinite Hodge structures and mirror symmetry for projective spaces”, e-print, math.AG/0010157, 2000
arXiv
[4] A. Borel (ed.), Algebraic $\cal {D}$-modules, Perspectives in Math. vol. 2, Academic Press, 1987 MR 882000 | Zbl 0642.32001
[5] A. Borel, Algebraic $\cal {D}$-modules, p. 207-352
[6] L. Boutet de Monvel, A. Douady & J.-L. Verdier (eds.), Séminaire E.N.S. Mathématique et Physique, Progress in Math., 1983
[7] T. Brélivet, “Topologie des polynômes, spectre et variance du spectre”, Thèse, Université de Bordeaux I, juin 2002
[8] J. Briançon, M. Granger, Ph. Maisonobe & M. Miniconi, “Algorithme de calcul du polynôme de Bernstein: cas non dégénéré”, Ann. Inst. Fourier 39 (1989), p. 553-610
Cedram | MR 1030839 | Zbl 0675.32008
[9] E. Brieskorn, “Die Monodromie der isolierten Singularitäten von Hyperflächen”, Manuscripta Math. 2 (1970), p. 103-161
Article | MR 267607 | Zbl 0186.26101
[10] S. A. Broughton, “Milnor number and the topology of polynomial hypersurfaces”, Invent. Math. 92 (1988), p. 217-241
Article | MR 936081 | Zbl 0658.32005
[11] R.-O. Buchweitz & G.-M. Greuel, “Milnor number and deformation of complex curve singularities”, Invent. Math. 58 (1980), p. 241-281
Article | MR 571575 | Zbl 0458.32014
[12] P. Deligne, Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lect. Notes in Math. vol. 163, Springer-Verlag, 1970 MR 417174 | Zbl 0244.14004
[13] A. Dimca, F. Maaref, C. Sabbah & M. Saito, “Dwork cohomology and algebraic $\cal {D}$-modules”, Math. Ann. 318 (2000), p. 107-125 MR 1785578 | Zbl 0985.14007
[14] A. Dimca & M. Saito, “Algebraic Gauss-Manin systems and Brieskorn modules”, Amer. J. Math. 123 (2001), p. 163-184 MR 1827281 | Zbl 0990.14004
[15] A. Douai, “Très bonnes bases du réseau de Brieskorn d'un polynôme modéré”, Bull. Soc. Math. France 127 (1999), p. 255-287
Numdam | MR 1708647 | Zbl 0935.32025
[16] A. Douai, “Notes sur les systèmes de Gauss-Manin algébriques et leurs transformés de Fourier”, Prépublication no 640, Université de Nice, janvier, 2002
[17] A. Douai & C. Sabbah, “Gauss-Manin systems, Brieskorn lattices and Frobenius structures (II)”, Preprint, 2002
arXiv | MR 2115764 | Zbl 1079.32017
[18] B. Dubrovin, Geometry of 2D topological field theory, Lect. Notes in Math., Springer-Verlag, 1996, p. 120-348 Zbl 0841.58065
[19] F. El Zein, “Théorie de Hodge des cycles évanescents”, Ann. Sci. École Normale Sup., 4e série 19 (1986), p. 107-184
Numdam | MR 860812 | Zbl 0538.14003
[20] A. Galligo, J.-M. Granger & Ph. Maisonobe (eds.), Systèmes différentiels et singularités, Astérisque vol. 130, Soc. Math. France, 1985 MR 804047
[21] M. Granger & Ph. Maisonobe, A basic course on differential modules, p. 103-168 Zbl 0853.32011
[22] C. Hertling, Frobenius manifolds and moduli spaces for singularities, Cambridge Tracts in Mathematics vol. 151, 2002 MR 1924259 | Zbl 1023.14018
[23] C. Hertling & Yu.I. Manin, “Weak Frobenius manifolds”, Internat. Math. Res. Notices (1999), p. 277-286 MR 1680372 | Zbl 0960.58003
[24] K. Hori & C. Vafa, “Mirror Symmetry”, e-print, hep-th/0002222, 2000
[25] M. Kashiwara, “On the holonomic systems of differential equations II”, Invent. Math. 49 (1978), p. 121-135
Article | MR 511186 | Zbl 0401.32005
[26] B. Kaup, Coherent $\cal {D}$-modules, p. 109-127
[27] A. Khovanskii & A.N. Varchenko, “Asymptotics of integrals over vanishing cycles and the Newton polyhedron”, Soviet Math. Dokl. 32 (1985), p. 122-127 Zbl 0595.32012
[28] A.G. Kouchnirenko, “Polyèdres de Newton et nombres de Milnor”, Invent. Math. 32 (1976), p. 1-31
Article | MR 419433 | Zbl 0328.32007
[29] Ph. Maisonobe & C. Sabbah (eds.), Images directes et constructibilité, Hermann, Paris, 1993
[30] Ph. Maisonobe & C. Sabbah (eds.), $\cal {D}$-modules cohérents et holonomes, Hermann, 1993
[31] B. Malgrange, Le faisceau des opérateurs différentiels, Institut Fourier, 1975
[32] B. Malgrange, Déformations de systèmes différentiels et microdifférentiels, p. 351-379 Zbl 0528.32016
[33] B. Malgrange, “Deformations of differential systems II”, J. Ramanujan Math. Soc. 1 (1986), p. 3-15 MR 945599 | Zbl 0687.32019
[34] B. Malgrange, Regular connexions after Deligne, p. 151-172
[35] B. Malgrange, Équations différentielles à coefficients polynomiaux, Progress in Math. vol. 96, Birkhäuser, 1991 MR 1117227 | Zbl 0764.32001
[36] B. Malgrange, Filtration des modules holonomes, Hermann, 1994, p. 35-41 Zbl 0843.58115
[37] B. Malgrange, “Connexions méromorphes II: le réseau canonique”, Invent. Math. 124 (1996), p. 367-387 MR 1369422 | Zbl 0849.32003
[38] B. Malgrange, On the extension of holonomic systems, World Sci. Publishing, 1996, p. 279-285 Zbl 0908.32004
[39] Yu.I. Manin, Frobenius manifolds, quantum cohomology and moduli spaces, Colloquium Publ., Amer. Math. Society, 1999 Zbl 0952.14032
[40] Z. Mebkhout, Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les $\cal {D}$-modules cohérents, Travaux en cours vol. 35, Hermann, 1989 MR 1008245 | Zbl 0686.14020
[41] Z. Mebkhout, “Le théorème de comparaison entre cohomologies de de Rham d'une variété algébrique complexe et le théorème d'existence de Riemann”, Publ. Math. I.H.E.S. 69 (1989), p. 47-89
Numdam | MR 1019961 | Zbl 0709.14015
[42] Z. Mebkhout & L. Narváez-Macarro, Le théorème de constructibilité de Kashiwara, p. 47-98 Zbl 0847.32012
[43] Z. Mebkhout & C. Sabbah, $\cal {D}$-modules et cycles évanescents, p. 201-239
[44] A. Némethi & C. Sabbah, “Semicontinuity of the spectrum at infinity”, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 69 (1999), p. 25-35 MR 1722919 | Zbl 0973.32014
[45] A. Némethi & A. Zaharia, “On the bifurcation set of a polynomial function and Newton boundary”, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 26 (1990), p. 681-689
Article | MR 1081511 | Zbl 0736.32024
[46] T. Oda, K. Saito's period map for holomorphic functions with isolated singularities, Advanced Studies in Pure Math., 1987, p. 591-648 Zbl 0643.32005
[47] F. Pham, Singularités des systèmes de Gauss-Manin, Progress in Math. vol. 2, Birkhäuser, 1980
[48] F. Pham, Vanishing homologies and the $n$ variable saddlepoint method, Proc. of Symposia in Pure Math., Amer. Math. Soc., 1983, p. 319-333 Zbl 0519.49026
[49] F. Pham, La descente des cols par les onglets de Lefschetz avec vues sur Gauss-Manin, p. 11-47 Zbl 0597.32012
[50] C. Sabbah, “Frobenius manifolds: isomonodromic deformations and infinitesimal period mappings”, Expo. Math. 16 (1998), p. 1-58 MR 1617534 | Zbl 0904.32009
[51] C. Sabbah, “Monodromy at infinity and Fourier transform”, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 33 (1998), p. 643-685
Article | MR 1489993 | Zbl 0920.14003
[52] C. Sabbah, “Hypergeometric period for a tame polynomial”, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math. 328 (1999), p. 603-608 MR 1679978 | Zbl 0967.32028
[53] C. Sabbah, Équations différentielles à points singuliers irréguliers et phénomène de Stokes en dimension 2, Astérisque vol. 263, Soc. Math. France, 2000 MR 1741802 | Zbl 0947.32005
[54] C. Sabbah, Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius, Savoirs Actuels, CNRS Éditions \& EDP Sciences, 2002 MR 1933784 | Zbl 01747107
[55] K. Saito, The higher residue pairings $K_F^{(k)}$ for a family of hypersurfaces singular points, Proc. of Symposia in Pure Math., Amer. Math. Soc., 1983, p. 441-463 Zbl 0565.32005
[56] K. Saito, “Period mapping associated to a primitive form”, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 19 (1983), p. 1231-1264
Article | MR 723468 | Zbl 0539.58003
[57] M. Saito, “Exponents and Newton polyhedra of isolated hypersurface singularities”, Math. Ann. 281 (1988), p. 411-417
Article | MR 954149 | Zbl 0628.32038
[58] M. Saito, “On the structure of Brieskorn lattices”, Ann. Inst. Fourier 39 (1989), p. 27-72
Cedram | MR 1011977 | Zbl 0644.32005
[59] M. Saito, “Mixed Hodge Modules”, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 26 (1990), p. 221-333
Article | MR 1047415 | Zbl 0727.14004
[60] M. Saito, “Period mapping via Brieskorn modules”, Bull. Soc. Math. France 119 (1991), p. 141-171
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© Annales de L'Institut Fourier - ISSN (électronique) : 1777-5310