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Everett W. Howe; Kristin E. Lauter
Improved upper bounds for the number of points on curves over finite fields
(Améliorations des majorations pour le nombre de points des courbes sur un corps fini)
Annales de l'institut Fourier, 53 no. 6 (2003), p. 1677-1737, doi: 10.5802/aif.1990
Article PDF | Analyses MR 2038778 | Zbl 1065.11043 | 2 citations dans Cedram
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Class. Math.: 11G20, 14G05, 14G10, 14G15
Mots clés: courbe, point rationnel, fonction zêta, borne de Weil, borne de Serre, borne d'Oesterlé

Résumé - Abstract

Grâce à de nouveaux arguments, nous améliorons les majorations connues du nombre maximal $N_q(g)$ de points rationnels sur une courbe de genre $g$ définie sur un corps fini ${\Bbb F}_q$, pour certains couples $(q,g)$. En particulier, nous donnons huit valeurs de $N_q(g)$ qui étaient jusqu'à présent inconnues : $N_4(5)=17$, $N_4(10)=27$, $N_8(9)=45$, $N_{16}(4)=45$, $N_{128}(4)=215$, $N_3(6)=14$, $N_9(10)=54$, et $N_{27}(4)=64$. Nous redémontrons aussi, avec une utilisation minimale de l'ordinateur, un résultat de Savitt : il n'y a pas de courbe de genre $4$ sur ${\Bbb F}_8$ ayant exactement $27$ points rationnels. Enfin, nous démontrons qu'il y a une infinité de $q$ tels que pour tout $g$ satisfaisant $0 < g < \log_2 q$, la différence entre la borne de Weil-Serre de $N_q(g)$ et la valeur exacte de $N_q(g)$ est au moins égale à $g/2$.

Bibliographie

[1] W. Bosma, J. Cannon & C. Playoust, “The Magma algebra system I: The user language”, J. Symbolic Comput. 24 (1997), p. 235-265 Article |  MR 1484478 |  Zbl 0898.68039
[2] I. I. Bouw, The p-rank of curves and covers of curves, Progr. Math., Birkhäuser, 2000, p. 267-277  Zbl 0979.14015
[3] P. Deligne, “Variétés abéliennes ordinaires sur un corps fini”, Invent. Math. 8 (1969), p. 238-243 Article |  MR 254059 |  Zbl 0179.26201
[4] S. A. DiPippo & E. W. Howe, “Real polynomials with all roots on the unit circle and abelian varieties over finite fields”, J. Number Theory 73 (1998), p. 426-450 Article |  MR 1657992 |  Zbl 0931.11023
[6] G. van der Geer & M. van der Vlugt, “Tables of curves with many points”, Math. Comp. 69 (2000), p. 797-810 Article |  MR 1654002 |  Zbl 0965.11028
[7] E. W. Howe, “Principally polarized ordinary abelian varieties over finite fields”, Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), p. 2361-2401 Article |  MR 1297531 |  Zbl 0859.14016
[8] E. W. Howe & H. J. Zhu, “On the existence of absolutely simple abelian varieties of a given dimension over an arbitrary field”, J. Number Theory 92 (2002), p. 139-163 Article |  MR 1880590 |  Zbl 0998.11031
[9] G. Korchmáros & F. Torres, “On the genus of a maximal curve”, Math. Ann. 323 (2002), p. 589-608 Article |  MR 1923698 |  Zbl 1018.11029
[10] R. B. Lakein, “Euclid's algorithm in complex quartic fields”, Acta Arith. 20 (1972), p. 393-400 Article |  MR 304350 |  Zbl 0224.12001
[11] K. Lauter, “Improved upper bounds for the number of rational points on algebraic curves over finite fields”, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math. 328 (1999), p. 1181-1185 Article |  MR 1701382 |  Zbl 0948.11024
[12] K. Lauter, “Non-existence of a curve over $\smallF_3$ of genus 5 with 14 rational points”, Proc. Amer. Math. Soc 128 (2000), p. 369-374 Article |  MR 1664414 |  Zbl 0983.11036
[13] K. Lauter, Zeta functions of curves over finite fields with many rational points, Springer-Verlag, 2000, p. 167-174  Zbl 1009.11049
[14] K. Lauter with an Appendix by J-P. Serre, “Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields”, J. Algebraic Geom. 10 (2001), p. 19-36  MR 1795548 |  Zbl 0982.14015
[15] K. Lauter with an Appendix by J-P. Serre, “The maximum or minimum number of rational points on genus three curves over finite fields”, Compositio Math. 134 (2002), p. 87-111 Article |  MR 1931964 |  Zbl 1031.11038
[16] D. Mumford, Abelian Varieties, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics 5, Oxford University Press, Oxford, 1985  Zbl 0583.14015
[17] F. Oort, Commutative group schemes, Lecture Notes in Math 15, Springer-Verlag, Berlin, 1966  MR 213365 |  Zbl 0216.05603
[18] D. Savitt with an Appendix by K. Lauter, “The maximum number of rational points on a curve of genus 4 over $\smallF_8$ is 25”, Canad. J. Math. 55 (2003), p. 331-352 Article |  MR 1969795 |  Zbl 02005249
[19] J.-P. Serre, “Sur le nombre des points rationnels d'une courbe algébrique sur un corps fini”, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math. 296 (1983), p. 397-402  MR 703906 |  Zbl 0538.14015
[20] J.-P. Serre, Nombres de points des courbes algébriques sur $\smallF_q$ Article |  Zbl 0538.14016
[21] J.-P. Serre, “Résumé des cours de 1983--1984”, Ann. Collège France (1984), p. 79-83
[22] J.-P. Serre, “Rational points on curves over finite fields”, unpublished notes by Fernando Q. Gouvéa of lectures at Harvard University, 1985
[23] C. L. Siegel, “The trace of totally positive and real algebraic integers”, Ann. of Math (2) 46 (1945), p. 302-312 Article |  MR 12092 |  Zbl 0063.07009
[24] C. Smyth, “Totally positive algebraic integers of small trace”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 33 (1984) no. 3, p. 1-28 Cedram |  MR 762691 |  Zbl 0534.12002
[25] H. M. Stark, On the Riemann hypothesis in hyperelliptic function fields, Proc. Sympos. Pure Math, American Mathematical Society, 1973, p. 285-302  Zbl 0271.14012
[26] H. Stichtenoth, Algebraic Function Fields and Codes, Springer-Verlag, Berlin, 1993  MR 1251961 |  Zbl 0816.14011
[27] K.-O. Stöhr & J. F. Voloch, “Weierstrass points and curves over finite fields”, Proc. London Math. Soc (3) 52 (1986), p. 1-19 Article |  MR 812443 |  Zbl 0593.14020
[28] D. Subrao, “The p-rank of Artin-Schreier curves”, Manuscripta Math. 16 (1975), p. 169-193 Article |  MR 376693 |  Zbl 0321.14017
[29] J. Tate, Classes d'isogénie des variétés abéliennes sur un corps fini, Lecture Notes in Math, Springer-Verlag, 1971, p. 95-110 Numdam |  Zbl 0212.25702
[30] M. E. Zieve, “Improving the Oesterlé bound”, preprint
[5] R. Fuhrmann & F. Torres, “The genus of curves over finite fields with many rational points”, Manuscripta Math 89 (1996), p. 103-106 Article |  MR 1368539 |  Zbl 0857.11032
[<L>4] S.A. Dilippo & E.W. Howe, “Corrigendum: Real polynomials with all roots on the unit circle and abelian varieties over finite fields”, J. Number Theory 83 (2000) no. 1  Zbl 0931.11023
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