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Pol Vanhaecke
Integrable systems and moduli spaces of rank two vector bundles on a non-hyperelliptic genus 3 curve
(Systèmes intégrables et espaces de modules de fibrés vectoriels de rang 2 sur une courbe non-hyperelliptique de genre 3)
Annales de l'institut Fourier, 55 no. 6 (2005), p. 1789-1802, doi: 10.5802/aif.2141
Article PDF | Analyses MR 2187935 | Zbl 1087.14027
Class. Math.: 14H70, 14H60, 35Q58
Mots clés: systèmes intégrables, espaces de modules, variétés de Kummer

Résumé - Abstract

Nous utilisons les techniques qui ont été développées par Adler et van Moerbeke pour déterminer les équations explicites d'un certain espace de modules, qui a été étudié par\break Narasimhan et Ramanan. Pour une surface de Riemann non-hyperelliptique $\Gamma$ de genre $3$ donnée, c'est l'espace de modules de fibrés semi-stables de rang deux sur $\Gamma$, dont le déterminant est trivial. Narasimhan et Ramanan ont démontré que cet espace est réalisable comme variété projective, précisément comme une hypersurface quartique dans ${\Bbb P}^7$, dont le lieu singulier est la variété de Kummer de $\Gamma$. Nous construisons d'abord un système algébriquement complètement intégrable dont la fibre générale de l'application moment est la jacobienne d'une surface de Riemann non- hyperelliptique de genre $3$. Les techniques développées par Adler et van Moerbeke permettent alors de calculer les huit cubiques qui définissent la variété de Kummer de $\Gamma$. Le fait que cette dernière est le lieu singulier de l'espace de modules nous permet de déterminer ensuite une équation pour l'espace de modules. Notre équation dépend de plusieurs paramètres qui proviennent des modules des jacobiennes qui apparaissent dans le système intégrable. Nous trouvons donc des équations explicites pour toute une famille d'espaces de modules, ce qui est intéressant du point de vue des applications à l'équation de Knizhnik-Zamolodchikov.

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