logo ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Avec cedram.org

Table des matières de ce fascicule | Article précédent | Article suivant
Mark Adler
PDE's for the Dyson, Airy and Sine processes
(EDP pour les processus d'Airy et pour le processus Sinus)
Annales de l'institut Fourier, 55 no. 6 (2005), p. 1835-1846, doi: 10.5802/aif.2143
Article PDF | Analyses MR 2187937 | Zbl 1085.60028
Class. Math.: 60G60, 60G65, 35Q53, 60G10, 35Q58
Mots clés: mouvement Brownien de Dyson, processus d'Airy, matrices gaussiennes hermitiennes couplées

Résumé - Abstract

En 1962, Dyson montre que le spectre d'une matrice aléatoire $n\times n$, dont les éléments (réels et imaginaires) diffusent selon des processus d'Ornstein-Uhlenbeck indépendants, évolue selon $n^2$ particules browniennes, forcées à s'éviter. En laissant tendre la taille $n$ des matrices vers l'infini et à l'issue d'un changement d'échelle espace-temps, on trouve que la plus grande valeur propre (edge) évolue selon le ``processus d'Airy'' et que les valeurs propres du milieu (bulk) évoluent selon le ``processus Sinus''. Le processus d'Airy est un processus continu stationnaire non- markovien. Cet exposé décrit la distribution de ces processus en chaque moment $t$, ainsi que la distribution jointe à des moments différents $t_1$ et $t_2$. La méthode consiste à calculer d'abord une EDP pour les probabilités jointes du processus de Dyson à des moments différents $t_1$ et $t_2$ ; ceci est basé sur le calcul de la probabilité jointe des valeurs propres d'une chaîne de deux matrices gaussiennes couplées. Cette équation différentielle est alors soumise à une analyse asymptotique, conformément aux changements d'échelle du bord et du milieu. Ces équations aux dérivées partielles permettent de calculer le comportement asymptotique de la covariance du processus à des moments differents $t_1$ et $t_2$, lorsque $t_2-t_1 $ tend vers l'infini.

Bibliographie

[1] M. Adler & P. van Moerbeke, “PDE's for the joint distributions of the Dyson. Airy and Sine Processes”, to appear in Ann. of Probability, 2005 arXiv |  MR 2150191 |  Zbl 02215081
[2] M. Adler & P. van Moerbeke, “The spectrum of coupled random matrices”, Annals of Math. 149 (1999), p. 921-976 Article |  MR 1709307 |  Zbl 0936.15018
[3] M. Adler & P. van Moerbeke, “A PDE for the joint distribution of the Airy process”, arXiv:math.PR/0302329, http://arxiv.org/abs/math.PR/0302329, 2003 arXiv |  Zbl 1093.60021
[4] F.J. Dyson, “A Brownian-Motion Model for the Eigenvalues of a Random Matrix”, Journal of Math. Phys. 3 (1962), p. 1191-1198 Article |  MR 148397 |  Zbl 0111.32703
[5] P.J. Forrester, T. Nagao & G. Honner, “Correlations for the orthogonal-unitary and symplectic-unitary transitions at the hard and soft edges”, Nucl. Phys. B 553 (1999), p. 601-643 Article |  MR 1707162 |  Zbl 0944.82012
[6] K. Johansson, “Discrete Polynuclear Growth and Determinantal Processes”, ArXiv. Math. PR/0206208, http://arxiv.org/abs/math.PR/0206208, 2002 arXiv
[7] K. Johansson, “The Arctic circle boundary and the Airy process”, ArXiv. Math. PR/0306216, http://arxiv.org/abs/math.PR/0306216, 2003 arXiv
[8] M. Prähofer & H. Spohn, “Scale Invariance of the PNG Droplet and the Airy Process”, J. Stat. Phys. 108 (2002), p. 1071-1106 Article |  MR 1933446 |  Zbl 1025.82010
[9] C.A. Tracy & H. Widom, “Level-spacing distributions and the Airy kernel”, Comm. Math. Phys. 159 (1994), p. 151-174 Article |  MR 1257246 |  Zbl 0789.35152
[10] C.A. Tracy & H. Widom, “A system of differential equations for the Airy process”, Elect. Comm. in Prob. 8 (2003), p. 93-98  MR 1987098 |  Zbl 1067.82031
[11] C.A. Tracy & H. Widom, “Differential equations for Dyson processes”, ArXiv. Math. PR/0309082, http://arxiv.org/abs/math.PR/0309082, 2003 arXiv |  MR 2103903 |  Zbl 05071177
[12] H. Widom, “On asymptotics for the Airy process”, ArXiv. Math. PR/0308157, http://arxiv.org/abs/math.PR/0308157, 2003 arXiv |  MR 2054175 |  Zbl 1073.82033
haut