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Pierre Arnoux; Valérie Berthé; Arnaud Hilion; Anne Siegel
Fractal representation of the attractive lamination of an automorphism of the free group
(Représentation fractale de la lamination attractive d’un automorphisme du groupe libre)
Annales de l'institut Fourier, 56 no. 7 (2006), p. 2161-2212, doi: 10.5802/aif.2237
Article PDF | Analyses MR 2290778 | Zbl 1146.20020 | 2 citations dans Cedram
Class. Math.: 20E05, 37B10, 05B45, 68R15
Mots clés: automorphisme du groupe libre, lamination attractive, substitution, dynamique symbolique, auto-similarité, Pisot number

Résumé - Abstract

Nous étendons aux automorphismes de groupes libres certains résultats et constructions associés aux morphismes de monoïdes libres, autrement appelés substitutions. Nous construisons une représentation géométrique de la lamination attractive d’une classe d’automorphismes du groupe libre (plus précisément, les automorphismes irréductibles et dont les puissances sont irréductibles) dans le cas où le coefficient de dilatation de l’automorphisme est un nombre de Pisot unitaire. On montre que, dans ce cas, l’application de décalage sur la lamination symbolique attractive est isomorphe en mesure à un échange de domaines sur un ensemble autosimilaire compact. Cet ensemble est appelé tuile centrale de l’automorphisme ; sa construction s’inspire des fractals de Rauzy associés à une substitution primitive Pisot. La tuile centrale admet des symétries liées à l’inversion dans le groupe libre. On conjecture dans le cas général que la tuile centrale est un domaine fondamental pour une translation sur un groupe compact.

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