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Jun Luo; Jörg M. Thuswaldner
On the Fundamental Group of self-affine plane Tiles
(Groupe fondamental de motifs auto-affines)
Annales de l'institut Fourier, 56 no. 7 (2006), p. 2493-2524, doi: 10.5802/aif.2247
Article PDF | Analyses MR 2290788 | Zbl 1119.52012 | 1 citation dans Cedram
Class. Math.: 52C20, 14F35, 11A63, 05B45
Mots clés: Motif, pavage, groupe fondamental, Systme de numŽration

Résumé - Abstract

Soient $A\in \mathbb{Z}^{2} \times \mathbb{Z}^2$ une matrice expansive, $\mathcal{D}\subset \mathbb{Z}^2$ un ensemble à $|\det (A)|$ éléments et $\mathcal{T}$ l’ensemble défini par l’équation $A\mathcal{T}\;=\;\mathcal{T}\;+\;\mathcal{D}$. Si $\mathcal{T}$ a une mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^2$ strictement supérieure à zéro, alors $\mathcal{T}$ est appelé motif plan auto-affine. Cet article établit certaines propriétés topologiques de $\mathcal{T}$. Nous montrons que le groupe fondamental $\pi _1(\mathcal{T})$ de $\mathcal{T}$ est soit trivial, soit infini non dénombrable, et nous donnons des critères associés à chacun des deux cas. De plus, nous incluons une courte preuve de la propriété que l’adhérence de chaque composante connexe de ${\rm int}(\mathcal{T})$ est un continuum localement connexe (nous démontrons même ce résultat dans le cas plus général d’attracteurs plans d’IFS satisfaisant la condition de l’ensemble ouvert). Si $\pi _1(\mathcal{T})=0$, nous montrons même que l’adhérence de chaque composante de $\mathrm{int}(\mathcal{T})$ est homéomorphe au disque unité.

Nous appliquons nos résultats à plusieurs examples de motifs étudiés dans la littérature.

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