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Jean-Louis Verger-Gaugry
On gaps in Rényi $\beta $-expansions of unity for $\beta > 1$ an algebraic number
(Sur les lacunes du $\beta $-développement de Rényi de l’unité pour $\beta > 1$ un nombre algébrique)
Annales de l'institut Fourier, 56 no. 7 (2006), p. 2565-2579, doi: 10.5802/aif.2250
Article PDF | Analyses MR 2290791 | Zbl pre05176579 | 1 citation dans Cedram
Class. Math.: 11B05, 11Jxx, 11J68, 11R06, 52C23
Mots clés: Beta-entier, beta-numération, nombre de Pisot, nombre de Salem, nombre de Perron, mesure de Mahler, approximation Diophantienne, série de Mahler, quasicristal mathématique

Résumé - Abstract

Soit $\beta > 1$ un nombre algébrique. Nous étudions les plages de zéros (“lacunes”) dans le $\beta $-développement de Rényi  $d_{\beta }(1)$ de l’unité qui contrôle l’ensemble $\mathbb{Z}_{\beta }$ des $\beta $-entiers. En utilisant une version de l’inégalité de Liouville qui étend des théorèmes d’approximation de Mahler et de Güting, on montre que les plages de zéros dans $d_{\beta }(1)$ présentent une “lacunarité” asymptotiquement bornée supérieurement par  $\log ({\rm M}(\beta ))/\log (\beta )$, où  ${\rm M}(\beta )$  est la mesure de Mahler de  $\beta $. La preuve de ce résultat fournit de manière naturelle une nouvelle classification des nombres algébriques $> 1$ en classes appelées Q$_i^{(j)}$ que nous comparons à la classification de Bertrand-Mathis avec les classes C$_1$ à C$_5$ (reportée dans un article de Blanchard). Cette nouvelle classification repose sur la valeur asymptotique maximale du “quotient de lacune” de la série “lacunaire” associée à $d_{\beta }(1)$. Comme corollaire, tous les nombres de Salem sont dans la classe C$_1 \cup \,$Q$_{0}^{(1)} \cup $ Q$_{0}^{(2)} \cup $ Q$_{0}^{(3)}$ ; ce résultat est également obtenu par un théorème récent qui généralise le théorème de Thue-Siegel-Roth donné par Corvaja.

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