logo ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Avec cedram.org

Table des matières de ce fascicule | Article précédent | Article suivant
Erlend Fornæss Wold
Embedding subsets of tori Properly into $\mathbb{C}^2$
(Plongement propre dans $\mathbb{C}^2$ de sous-ensembles de tores)
Annales de l'institut Fourier, 57 no. 5 (2007), p. 1537-1555, doi: 10.5802/aif.2305
Article PDF | Analyses MR 2364141 | Zbl 1149.32015
Class. Math.: 32H35, 30F99
Mots clés: plongements holomorphiques, surfaces de Riemann

Résumé - Abstract

Nous avons fait des progrès sur le problème du plongement des surfaces de Riemann ouvertes dans $\mathbb{C}^{2}$. Il est connu que pour tout entier naturel $d\ge 2$, le nombre $N_{d}:=\left[\frac{3d}{2}\right]+1$ est le plus petit entier naturel pour lequel il existe un plongement propre de toute variété de Stein de dimension $d$ dans $\mathbb{C}^{N_{d}}$. Le problème du plongement propre des variétés de Stein de dimension 1 dans $\mathbb{C}^{2}$ reste ouvert (il existe du plongement propre dans $\mathbb{C}^{3}$). Dans ce texte nous prouvons le résultat suivant  : soit $\mathbb{T}$ un tore complexe de dimension 1  ; alors il existe un plongement propre de toute partie de $\mathbb{T}$, dont la frontière a un nombre fini de composantes (aucune d’elle n’étant un point), dans $\mathbb{C}^{2}$. Nous prouvons aussi que les algèbres de fonctions analytiques sur certaines surfaces de Riemann sont doublement générées.

Bibliographie

[1] L. V. Ahlfors, Complex Analysis., McGraw Hill, 1966  MR 510197 |  Zbl 0154.31904
[2] H. Alexander, “Explicit imbedding of the (punctured) disc into $\mathbb{C}^2$.”, Math.Helv. 52 (1977), p. 439-544 Article |  MR 481126 |  Zbl 0376.32011
[3] H. Behnke & K. Stein, “Entwicklung analytisher Funktionen auf Riemannschen Flachen.”, Math. Ann. 120 (1949), p. 430-461 Article |  MR 29997 |  Zbl 0038.23502
[4] Y. Eliashberg & M. Gromov, “Embeddings of Stein manifolds of dimension $n$ into the affine space of dimension $3n/2+1$”, Ann.Math. 136 (1992), p. 123-135 Article |  MR 1173927 |  Zbl 0758.32012
[5] O. Forster, “Plongements des variétés de Stein.”, Comm.Math.Helv. 45 (1970), p. 170-184 Article |  MR 269880 |  Zbl 0184.31403
[6] O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer-Verlag, 1999  MR 1185074 |  Zbl 0475.30002
[7] F. Forstnerič & M. Černe, “Embedding some bordered Riemann surfaces in the affine plane.”, Math. Res. Lett. 9 (2002), p. 683-696  MR 1906070 |  Zbl 1030.32013
[8] F. Forstnerič, “The homotopy principle in complex analysis: A survey.”, Contemp. Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI 332 (2003), p. 73-99  MR 2016091 |  Zbl 1048.32004
[9] F. Forstnerič & E. Løw, “Global holomorphic equivalence of smooth manifolds in $\mathbb{C}^k$”, Indiana Univ.Math.J. 46 (1997), p. 133-153 Article |  MR 1462799 |  Zbl 0883.32014
[10] J. Globevnik & B. Stensønes, “Holomorphic embeddings of some planar domains into $\mathbb{C}^2$”, Math. Ann. 303 (1995), p. 579-597 Article |  MR 1359950 |  Zbl 0847.32030
[11] G. M. Goluzin, Geometric theorey of functions of a complex variable., American mathematical society, Providence, R.I., 1969  MR 247039 |  Zbl 0183.07502
[12] R. C. Gunning & H. Rossi, Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc., 1965  MR 180696 |  Zbl 0141.08601
[13] Z-X. He & O. Schramm, “Fixed points, Koebe uniformization, and circle packings.”, Ann.Math. 137 (1993), p. 369-406 Article |  MR 1207210 |  Zbl 0777.30002
[14] K. Kasahara & T. Nishino, “As announced in Math Reviews.”, Math.Reviews. 38 (1969)
[15] H. B. Laufer, “Imbedding annuli in $\mathbb{C}^2$.”, J. d’Analyse Math. 26 (1973), p. 187-215 Article |  Zbl 0286.32017
[16] B. Malgrange, “Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution.”, Ann. Inst. Fourier 6 (1955-56), p. 271-354 Cedram |  MR 86990 |  Zbl 0071.09002
[17] J. Schurmann, “Embeddings of Stein spaces into affine spaces of minimal dimension.”, Math.Ann. 307 (1997), p. 381-399 Article |  MR 1437045 |  Zbl 0881.32007
[18] G. Stolzenberg, “Uniform approximation on smooth curves.”, Acta Math. 115 (1966), p. 185-198 Article |  MR 192080 |  Zbl 0143.30005
[19] E. F. Wold, “Embedding Riemann surfaces into $\mathbb{C}^2$.”, Internat.J.Math 17 (2006), p. 963-974 Article |  MR 2261643 |  Zbl 1109.32013
[20] E. F. Wold, “Proper holomorphic embeddings of finitely and some infinitely connected subsets of $\mathbb{C}$ into $\mathbb{C}^2$.”, Math.Z. 252 (2006), p. 1-9 Article |  MR 2209147 |  Zbl 1086.32015
haut