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Stefano Francaviglia
Constructing equivariant maps for representations
(Construction d’applications équivariantes pour représentations)
Annales de l'institut Fourier, 59 no. 1 (2009), p. 393-428, doi: 10.5802/aif.2434
Article PDF | Analyses MR 2514869 | Zbl 1171.57016
Class. Math.: 57M50, 37A99
Mots clés: espace hyperbolique, discrète group, isométries, représentation, équivariant, barycentre, application naturelle, volume

Résumé - Abstract

On montre que pour chaque groupe discrète d’isométries $G$ de l’espace hyperbolique de dimension $k$, chaque représentation $R$ de $G$ dans le groupe Isom$(\mathbb{H}^n)$ et pour chaque application $R$-équivariante $F$ de $\mathbb{H}^k$ en $\mathbb{H}^n$, il existe une extension de $F$ dans le sens faible des mesures. On obtient donc, comme conséquence de ce fait, une extension d’un résultat de Besson, Courtois et Gallot sur l’existence d’une application équivariante qui n’augmente pas le volume. En plus, avec une hypothèse supplémentaire, on montre que notre extension faible est effectivement une vraie application mesurable du bord à l’infini de $\mathbb{H}^k$. On utilise alors ce résultat pour obtenir une version mesurable du résultat de Cannon et Thurston sur l’existence de courbes de Peano équivariantes. Enfin, on discute quelques applications.

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