logo ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER

Avec cedram.org

Table des matières de ce fascicule | Article précédent | Article suivant
Nicolas Tholozan
Sur la complétude de certaines variétés pseudo-riemanniennes localement symétriques
(Completeness of certain pseudo-Riemannian (locally) symmetric spaces)
Annales de l'institut Fourier, 65 no. 5 (2015), p. 1921-1952, doi: 10.5802/aif.2977
Article PDF
Class. Math.: 53C50, 53C35, 22E40
Mots clés: Variété pseudo-riemannienne, $(G,X)$–structure, action proprement discontinue

Résumé - Abstract

Nous prouvons que certains espaces pseudo-riemanniens symétriques n’admettent pas d’ouvert strict divisible par l’action d’un groupe discret d’isométries. Autrement dit, si une variété pseudo-riemannienne compacte est localement isométrique à un tel espace, et si son application développante est injective, alors la variété est géodésiquement complète, et donc isométrique à un quotient de l’espace modèle tout entier. Ces résultats étendent, sous une hypothèse supplémentaire (l’injectivité de l’application développante), les théorèmes de Carrière et Klingler selon lesquels les variétés lorentziennes compactes de courbure constante sont géodésiquement complètes.

Bibliographie

[1] Yves Benoist, “Convexes divisibles. IV. Structure du bord en dimension 3”, Invent. Math. 164 (2006) no. 2, p. 249-278 Article |  Zbl 1107.22006
[2] Armand Borel, “Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces”, Topology 2 (1963), p. 111-122  Zbl 0116.38603
[3] Armand Borel & Jacques Tits, “Groupes réductifs”, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 27 (1965), p. 55-150 Numdam |  Zbl 0145.17402
[4] Yves Carrière, “Autour de la conjecture de L. Markus sur les variétés affines”, Invent. Math. 95 (1989) no. 3, p. 615-628 Article |  Zbl 0682.53051
[5] Sorin Dumitrescu & Abdelghani Zeghib, “Global rigidity of holomorphic Riemannian metrics on compact complex 3-manifolds”, Math. Ann. 345 (2009) no. 1, p. 53-81 Article |  Zbl 1172.53048
[6] Charles Ehresmann, “Sur les Espaces localement homogènes”, Enseign. Math. 35 (1936), p. 317-333  Zbl 0015.39404
[7] Charles Frances, “Sur le groupe d’automorphismes des géométries paraboliques de rang 1”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 40 (2007) no. 5, p. 741-764 Numdam |  Zbl 1135.53016
[8] David Fried, William Goldman & Morris W. Hirsch, “Affine manifolds with nilpotent holonomy”, Comment. Math. Helv. 56 (1981) no. 4, p. 487-523 Article |  Zbl 0516.57014
[9] Daniel Gallo, Michael Kapovich & Albert Marden, “The monodromy groups of Schwarzian equations on closed Riemann surfaces”, Ann. of Math. (2) 151 (2000) no. 2, p. 625-704 Article |  Zbl 0977.30028
[10] Étienne Ghys, “Déformations des structures complexes sur les espaces homogènes de ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$”, J. Reine Angew. Math. 468 (1995), p. 113-138 Article |  Zbl 0868.32023
[11] William Goldman & Morris W. Hirsch, “The radiance obstruction and parallel forms on affine manifolds”, Trans. Amer. Math. Soc. 286 (1984) no. 2, p. 629-649 Article |  Zbl 0561.57014
[12] William M. Goldman, “Nonstandard Lorentz space forms”, J. Differential Geom. 21 (1985) no. 2, p. 301-308  Zbl 0591.53051
[13] William M. Goldman, Locally homogeneous geometric manifolds, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II, Hindustan Book Agency, 2010, p. 717-744  Zbl 1234.57001
[14] Michael Gromov, Rigid transformation groups, Géométrie différentielle (Paris, 1986), Travaux en Cours 33, Hermann, 1988, p. 65–139  Zbl 0652.53023
[15] Mohammed Guediri & Jacques Lafontaine, “Sur la complétude des variétés pseudo-riemanniennes”, J. Geom. Phys. 15 (1995) no. 2, p. 150-158 Article |  Zbl 0818.53083
[16] François Guéritaud, Olivier Guichard, Fanny Kassel & Anna Wienhard, “Anosov representations and proper actions”, http://arxiv.org/abs/1502.03811
[17] François Guéritaud & Fanny Kassel, “Maximally stretched laminations on geometrically finite hyperbolic manifolds”, http://arxiv.org/abs/1307.0250, à paraître à Geometry & Topology
[18] Kyeonghee Jo & Inkang Kim, “Convex affine domains and Markus conjecture”, Math. Z. 248 (2004) no. 1, p. 173-182 Article |  Zbl 1061.52006
[19] Fanny Kassel, “Proper actions on corank-one reductive homogeneous spaces”, J. Lie Theory 18 (2008) no. 4, p. 961-978  Zbl 1173.22009
[20] Fanny Kassel, Quotients compacts d’espaces homogènes réels ou $p$-adiques, Ph. D. Thesis, Université de Paris-Sud 11, 2009
[21] Bruno Klingler, “Complétude des variétés lorentziennes à courbure constante”, Math. Ann. 306 (1996) no. 2, p. 353-370 Article |  Zbl 0862.53048
[22] Anthony W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Progress in Mathematics 140, Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 2002  Zbl 1075.22501
[23] Toshiyuki Kobayashi, “On discontinuous groups acting on homogeneous spaces with noncompact isotropy subgroups”, J. Geom. Phys. 12 (1993) no. 2, p. 133-144 Article |  Zbl 0815.57029
[24] Toshiyuki Kobayashi, “Deformation of compact Clifford-Klein forms of indefinite-Riemannian homogeneous manifolds”, Math. Ann. 310 (1998), p. 394-408  Zbl 0891.22014
[25] Ravi S. Kulkarni & Ulrich Pinkall, Uniformization of geometric structures with applications to conformal geometry, Differential geometry, Peñíscola 1985, Lecture Notes in Math. 1209, Springer, 1986, p. 190–209 Article |  Zbl 0612.57017
[26] Ravi S. Kulkarni & Frank Raymond, “$3$-dimensional Lorentz space-forms and Seifert fiber spaces”, J. Differential Geom. 21 (1985) no. 2, p. 231-268  Zbl 0563.57004
[27] Lawrence Markus, Cosmological models in differential geometry, University of Minnesota Press, 1963
[28] François Salein, “Variétés anti-de Sitter de dimension 3 exotiques”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 50 (2000) no. 1, p. 257-284 Cedram |  Zbl 0951.53047
[29] John David Smillie, Affinely flat manifolds, ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1977, PhD Thesis–University of Chicago
[30] William Thurston, The Geometry and topology of 3-manifolds, Princeton University Press, 1980
[31] Joseph A. Wolf, Spaces of constant curvature, Publish or Perish Inc., Boston, Mass., 1974  Zbl 0281.53034
[32] Abdelghani Zeghib, “On closed anti-de Sitter spacetimes”, Math. Ann. 310 (1998) no. 4, p. 695-716  Zbl 0968.53049
haut