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José Ignacio Burgos Gil; Patrice Philippon; Martín Sombra
Successive minima of toric height functions
(Minimums successifs des fonctions hauteurs toriques)
Annales de l'institut Fourier, 65 no. 5 (2015), p. 2145-2197, doi: 10.5802/aif.2985
Article PDF
Class. Math.: 14G40, 14M25, 52A41
Mots clés: Hauteur, minimum essentiel, minimums successifs, variété torique, $\mathbb{R}$-diviseur métrisé torique, fonction concave, dualité de Legendre-Fenchel

Résumé - Abstract

Étant donné un $\mathbb{R}$-diviseur torique métrisé d’une variété torique sur un corps global, nous démontrons une formule pour le minimum essentiel de la fonction hauteur associée. Sous des hypothèses de positivité convenables, nous donnons également des formules pour tous les minimums successifs. Nous appliquons ces résultats à l’étude, dans le cadre torique, des relations entre les minimums successifs et d’autres invariants arithmétiques comme la hauteur et le volume arithmétique. Nous appliquons aussi nos formules au calcul des minimums successifs de plusieurs familles d’exemples, incluant les espaces projectifs pondérés, les fibrés toriques et les translatés de sous-tores.

Bibliographie

[1] Francesco Amoroso & Evelina Viada, “Small points on subvarieties of a torus”, Duke Math. J. 150 (2009) no. 3, p. 407-442  Zbl 1234.11081
[2] Martin Avendaño, Teresa Krick & Martin Sombra, “Factoring bivariate sparse (lacunary) polynomials”, J. Complexity 23 (2007) no. 2, p. 193-216 Article |  Zbl 1170.12004
[3] Matthew H. Baker & Robert Rumely, “Equidistribution of small points, rational dynamics, and potential theory”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006) no. 3, p. 625-688  Zbl 1234.11082
[4] Robert Berman & Sébastien Boucksom, “Growth of balls of holomorphic sections and energy at equilibrium”, Invent. Math. 181 (2010) no. 2, p. 337-394 Article |  Zbl 1208.32020
[5] Yuri Bilu, “Limit distribution of small points on algebraic tori”, Duke Math. J. 89 (1997) no. 3, p. 465-476 Article |  Zbl 0918.11035
[6] Enrico Bombieri & Walter Gubler, Heights in Diophantine geometry, New Mathematical Monographs 4, Cambridge University Press, Cambridge, 2006 Article |  Zbl 1115.11034
[7] J.-B. Bost, H. Gillet & C. Soulé, “Heights of projective varieties and positive Green forms”, J. Amer. Math. Soc. 7 (1994) no. 4, p. 903-1027 Article |  Zbl 0973.14013
[8] Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe, Convex optimization, Cambridge University Press, Cambridge, 2004 Article |  Zbl 1058.90049
[9] Weronika Buczynska, Fake weighted projective spaces, Masters thesis, Warsaw Univ. (Poland), 2002
[10] J. I. Burgos Gil, A. Moriwaki, P. Philippon & M. Sombra, “Arithmetic positivity on toric varieties”, to appear in J. Alg. Geom., http://arxiv.org/abs/1210.7692
[11] José Ignacio Burgos Gil, Patrice Philippon & Martín Sombra, “Arithmetic geometry of toric varieties. Metrics, measures and heights”, Astérisque (2014) no. 360
[12] Antoine Chambert-Loir, “Mesures et équidistribution sur les espaces de Berkovich”, J. Reine Angew. Math. 595 (2006), p. 215-235 Article |  Zbl 1112.14022
[13] Antoine Chambert-Loir & Amaury Thuillier, “Mesures de Mahler et équidistribution logarithmique”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 59 (2009) no. 3, p. 977-1014 Cedram |  Zbl 1192.14020
[14] Huayi Chen, “Differentiability of the arithmetic volume function”, J. Lond. Math. Soc. (2) 84 (2011) no. 2, p. 365-384 Article |  Zbl 1228.14022
[15] Sinnou David & Patrice Philippon, “Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés des tores”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 28 (1999) no. 3, p. 489-543 Numdam |  Zbl 1002.11055
[16] Pierre Dèbes, “Density results for Hilbert subsets”, Indian J. Pure Appl. Math. 30 (1999) no. 1, p. 109-127  Zbl 0923.12001
[17] Charles Favre & Juan Rivera-Letelier, “Équidistribution quantitative des points de petite hauteur sur la droite projective”, Math. Ann. 335 (2006) no. 2, p. 311-361 Article |  Zbl 1175.11029
[18] Walter Gubler, “Local and canonical heights of subvarieties”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5) 2 (2003) no. 4, p. 711-760 Numdam |  Zbl 1170.14303
[19] Marc Hindry & Joseph H. Silverman, Diophantine geometry, Graduate Texts in Mathematics 201, Springer-Verlag, New York, 2000, An introduction Article |  Zbl 0948.11023
[20] Serge Lang, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211, Springer-Verlag, New York, 2002 Article |  Zbl 0984.00001
[21] Qing Liu, Algebraic geometry and arithmetic curves, Oxford Graduate Texts in Mathematics 6, Oxford University Press, Oxford, 2002, Translated from the French by Reinie Erné, Oxford Science Publications  Zbl 0996.14005
[22] Jürgen Neukirch, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 322, Springer-Verlag, Berlin, 1999, Translated from the 1992 German original and with a note by Norbert Schappacher, With a foreword by G. Harder Article |  Zbl 0956.11021
[23] Patrice Philippon & Martin Sombra, Quelques aspects diophantiens des variétés toriques projectives, Diophantine approximation, Dev. Math. 16, SpringerWienNewYork, Vienna, 2008, p. 295–338 Article |  Zbl 1153.11029
[24] R. Tyrrell Rockafellar, Convex analysis, Princeton Mathematical Series, No. 28, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1970  Zbl 0932.90001
[25] Martin Sombra, “Minimums successifs des variétés toriques projectives”, J. Reine Angew. Math. 586 (2005), p. 207-233 Article |  Zbl 1080.14060
[26] L. Szpiro, E. Ullmo & S. Zhang, “Équirépartition des petits points”, Invent. Math. 127 (1997) no. 2, p. 337-347 Article |  Zbl 0991.11035
[27] André Weil, Basic number theory, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1974, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 144  Zbl 0326.12001
[28] Xinyi Yuan, “Big line bundles over arithmetic varieties”, Invent. Math. 173 (2008) no. 3, p. 603-649 Article |  Zbl 1146.14016
[29] Shouwu Zhang, “Positive line bundles on arithmetic varieties”, J. Amer. Math. Soc. 8 (1995) no. 1, p. 187-221 Article |  Zbl 0861.14018
[30] Shouwu Zhang, “Small points and adelic metrics”, J. Algebraic Geom. 4 (1995) no. 2, p. 281-300  Zbl 0861.14019
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