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Cyril Demarche; Giancarlo Lucchini Arteche; Danny Neftin
The Grunwald problem and approximation properties for homogeneous spaces
(Le problème de Grunwald et propriétés d’approximation pour les espaces homogènes)
Annales de l'institut Fourier, 67 no. 3 (2017), p. 1009-1033, doi: 10.5802/aif.3104
Article PDF
Class. Math.: 11R34, 14M17, 14G05, 11E72
Mots clés: Problème de Grunwald, cohomologie galoisienne, espaces homogènes, approximation faible, obstruction de Brauer–Manin

Résumé - Abstract

Pour un groupe $G$ et un corps de nombres $K$, le problème de Grunwald est le suivant : étant données des extensions des complétés de $K$ en un ensemble fini de places, peut-on les approcher de façon simultanée par une seule extension de $K$ de groupe de Galois $G$ ? Cela peut être interprété comme un cas particulier de la question plus générale de déterminer pour quels $K$-groupes $G$ la variété $\mathrm{SL}_n/G$ vérifie l’approximation faible. Nous démontrons qu’en dehors d’un ensemble explicite de mauvaises places, ces deux problèmes ont une réponse positive pour les groupes obtenus par des produits semi-directs itérés à noyau abélien. En outre, nous donnons des contre-exemples aux deux affirmations dans l’ensemble des mauvaises places. Ceux-ci sont par ailleurs les premiers exemples d’obstructions de Brauer–Manin transcendantes à l’approximation faible pour les espaces homogènes.

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