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Gustave Choquet
Theory of capacities
Annales de l'institut Fourier, 5 (1954), p. 131-295, doi: 10.5802/aif.53
Article PDF | Reviews MR 18,295g | Zbl 0064.35101 | 23 citations in Cedram

Résumé - Abstract

C’est un essai de théorie générale des fonctions croissantes d’ensemble. On est amené à mettre en évidence diverses classes importantes de telles fonctions, en particulier la classe des fonctions fortement sous-additives, pour lesquelles existe une théorie analogue à celle de la mesure, et une sous-classe de celle-ci, à savoir la classe des fonctions alternées d’ordre infini, analogues aux fonctions numériques complètement monotones.

La capacité classique est une telle fonction d’ensemble ; il en résulte l’identité des capacités intérieure et extérieure de tout ensemble borélien ou analytique.

Un outil de recherche puissant est la représentation intégrale des fonctions d’une classe additive et convexe au moyen des éléments extrémaux d’une telle classe. Cette représentation permet d’identifier les fonctions alternées d’ordre infini avec certaines probabilités associées à l’ensemble variable.

Bibliography

[1] AISSEN, Michael. A class of super-additive functions. Proc. Amer. Math. Soc. 4, 360-362 (1953).  MR 14,980e |  Zbl 0050.28401
[1] ARONSZAJN, N., and SMITH, K. T. Functional Spaces and Functional Completion. Technical Report 10. Department of Mathematics, Lawrence, Kansas, 1954.
[1] BIRKHOFF, Garrett. Lattice Theory. American mathematical Society Colloquium Publications, vol. 25, revised edition. American Mathematical Society, New York, N. Y., 1948.  MR 10,673a |  Zbl 0033.10103
[1] BOCHNER, S. Completely monotone functions in partially ordered spaces. Duke Math. J. 9, 519-526 (1942). Article |  MR 4,247g |  Zbl 0060.27205
[1] BOURBAKI, N. Eléments de mathématique. II. Première partie: Les structures fondamentales de l'analyse. Livre III: Topologie générale. Chap. I: Structures topologiques. Actualités Sci. Ind., n° 858. Hermann et Cie, Paris, 1940.  Zbl 0026.43101 |  JFM 66.1357.01
[2] BOURBAKI, N. Eléments de mathématique. X. Première partie: Les structures fondamentales de l'analyse. Livre III: Topologie générale. Chapitre X: Espaces fonctionnels ; dictionnaire. Actualités Sci. Ind., n° 1084. Hermann et Cie, Paris, 1949.  Zbl 0036.38601
[3] BOURBAKI, N. Eléments de mathématique. XIII. Première partie: Les structures fondamentales de l'analyse. Livre VI: Intégration. Chapitre III: Mesure sur les espaces localement compacts. Actualités Sci. Ind., n° 1175. Hermann et Cie, Paris, 1952.  Zbl 0049.31703
[4] BOURBAKI, N. Eléments de mathématique. XV. Première partie: Les structures fondamentales de l'analyse. Livre V: Espaces vectoriels topologiques. Chapitre I: Espaces vectoriels topologiques sur un corps valué. Chapitre II: Ensembles convexes et espaces localement convexes. Actualités Sci. Ind., n° 1189. Hermann et Cie, Paris, 1953.  Zbl 0050.10703
[1] BRELOT, Marcel. La théorie moderne du potentiel. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 4 (1952), 113-140 (1954). Cedram |  MR 15,527a |  Zbl 0055.08903
[1] BRELOT, M., and CHOQUET, G. Espaces et lignes de Green. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 3 (1951), 199-263 (1952). Cedram |  MR 16,34e |  Zbl 0046.32701
[1] CARTAN, Henri. Théorie du potentiel Newtonien: énergie, capacité, suites de potentiels. Bull. Soc. Math. France 73, 74-106 (1945). Numdam |  MR 7,447h |  Zbl 0061.22609
[1] CHOQUET, Gustave. Ensembles boréliens et analytiques dans les espaces topologiques. C. R. Ac. Sci., Paris 232, 2174-2176. (1951)  MR 13,19e |  Zbl 0042.05403
[2] CHOQUET, Gustave. Les capacités, fonctions alternées d'ensembles. C. R. Ac. Sci., Paris 233, 904-906 (1951).  MR 13,633f |  Zbl 0043.31702
[3] CHOQUET, Gustave. Capacités. Premières définitions. C. R. Ac. Sci., Paris 234, 35-37 (1952).  MR 13,555b |  Zbl 0046.05701
[4] CHOQUET, Gustave. Extension et restriction d'une capacité. C. R. Ac. Sci., Paris 234, 383-385 (1952).  MR 13,633d |  Zbl 0046.05702
[5] CHOQUET, Gustave. Propriétés fonctionnelles des capacités alternées ou monotones. Exemples. C. R. Ac. Sci., Paris 234, 498-500 (1952).  MR 13,829e |  Zbl 0046.05703
[6] CHOQUET, Gustave. Capacitabilité. Théorèmes fondamentaux. C. R. Ac. Sci., Paris, 234, 784-786 (1952).  MR 13,633e |  Zbl 0046.05704
[1] DIEUDONNÉ, Jean. Sur la convergence des suites de mesures de Radon. Anais Acad. Brasil. Ci. 23, 21-38 (1951).  MR 13,121a |  Zbl 0043.11202
[1] DOOB. See the Proceeding of the International Congress of Mathematicians 1954, Volume I.
[1] FRÉCHET, Maurice. Les probabilités associées à un système d'évènements compatibles et dépendants. I. Évènements en nombre fini fixe. Actualités Sci. Ind., n° 859. Hermann et Cie, Paris, 1940. II. Cas particuliers et applications. Actualités Sci. Ind., n° 942. Hermann et Cie, Paris, 1943.  Zbl 0026.32901
[1] HALMOS, Paul R.Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., 1950.  MR 11,504d |  Zbl 0040.16802
[1] KAC, M. On some connections between probability theory and differential and integral equations. Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 1950, pp. 189-215. University of California Press, Berkeley and Los Angeles, 1951.  Zbl 0045.07002
[2] KAC, M. A book about the Dirichlet problem, harmonic measure, and Newtonian capacity and their relation with Brownian motion. To be published.
[1] KURATOWSKI, C. Ensembles projectifs et ensembles singuliers. Fund. Math. 35, 131-140 (1948). Article |  MR 10,358d |  Zbl 0031.29001
[1] MARTIN, Robert S. Minimal positive harmonic functions. Trans. Amer. Math. Soc. 49, 137-172 (1941).  MR 2,292h |  Zbl 0025.33302 |  JFM 67.0343.03
[1] MAZURKIEWICZ, S. Sur les ensembles de capacité nulle et les ensembles H. Fund. Math. 21, 59-65 (1933). Article |  Zbl 0008.10807 |  JFM 59.0889.05
[1] NOVIKOV, P. S. On the uncontradictability of certain propositions at the descriptive theory of sets. Trudy Mat. Inst. Steklov; vol. 38, pp. 279-316. Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow, (1951).  MR 14,234a |  Zbl 0192.04902
[1] PAUC, Christian. Darstellung und Struktursätze für Boolesche Verbände und _-Verbände. Arch. Math. 1, 29-41 (1948).  MR 10,348h |  Zbl 0030.34703
[1] REVUZ, André. Sur une représentation canonique de certaines fonctionnelles croissantes C. R. Ac. Sci., Paris 231, 22-24 (1950).  MR 12,108c |  Zbl 0037.35602
[2] REVUZ, André. Représentation canonique par des mesures de Radon des fonctions numériques totalement croissantes sur les espaces topologiques ordonnés. C. R. Ac. Sci., Paris 232, 1731-1733 (1951).  MR 13,121b |  Zbl 0042.11701
[3] REVUZ, André. Fonctions croissantes et mesures sur les espaces topologiques ordonnés. Thesis to be published in the Annales de l'Institut Fourier, Grenoble in 1954 or 1955. Cedram |  Zbl 0074.28201
[1] SCHMIDT, Jürgen. Beiträge zur Filtertheorie. I. Math. Nachr. 7, 359-378 (1952).  MR 14,255i |  Zbl 0047.05602
[1] SIERPINSKI, W. Un théorème sur les fonctions d'ensemble. Soc. Sci. Lett. Varsovie. C. R. Cl. III. Sci Math. Phys. 42 (1949) 18-22 (1952).  MR 14,26f |  Zbl 0041.37605
[1] ŠNEĬDER, V. E. Continuous images of Suslin and Borel sets. Metrization theorems. Doklady Akad. Nauk SSSR (N. S.) 50, 77-79 (1945).  MR 14,782d |  Zbl 0061.39705
[2] ŠNEĬDER, V. E. Descriptive theory of sets in topological spaces. Doklady Akad. Nauk SSSR (N. S.) 50, 81-83 (1945).  MR 14,782e |  Zbl 0061.39706
[1] STONE, M. H. The theory of representation for Boolean algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 40, 37-111 (1936).  MR 1501865 |  Zbl 0014.34002 |  JFM 62.0033.04
[2] STONE, M. H. Applications of the theory of Boolean rings to general topology. Trans. Amer. Math. Soc. 41, 375-481 (1937).  MR 1501905 |  Zbl 0017.13502 |  JFM 63.1173.01
[3] STONE, M. H. Boolean algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 44, 807-816 (1938). Article |  Zbl 0020.34204 |  JFM 64.0030.04
[4] STONE, M. H. Boundedness properties in function-lattices. Canadian J. Math. 1, 176-186 (1949).  MR 10,546a |  Zbl 0032.16901
[1] TARSKI, A. Une contribution à la théorie de la mesure. Fund. Math. 15, 42-50 (1930). Article |  JFM 56.0089.05
[1] ULAM, S. Concerning functions of sets. Fund. Math. 14, 231-233 (1929). Article |  JFM 55.0150.03
[1] WIDDER, David Vernon. The Laplace Transform. Princeton Mathematical Series, vol. 6, Princeton University Press, Princeton, N. J., 1941.  MR 3,232d |  Zbl 0063.08245
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