Laurent Schwartz
Théorie des distributions à valeurs vectorielles. I
Annales de l'institut Fourier, 7 (1957), p. 1-141, doi: 10.5802/aif.68
Article PDF | Reviews MR 21 #6534 | Zbl 0089.09601 | 8 citations in Cedram
Résumé - Abstract
Ce travail a pour but l’extension aux distributions à valeurs vectorielles des principales propriétés des distributions scalaires (Théorie des distributions, Paris, Hermann, 1950–51, et nouvelle édition du tome I, 1957).
Soit $E$ un espace vectoriel topologique localement convexe séparé quasi-complet. L’espace ${\cal D}^{\prime }(E)$ des distributions sur ${\bf R}^n$ à valeurs dans $E$ est par définition l’espace ${\cal L}({\cal D};E)$ des applications linéaires continues de ${\cal D}$ dans $E$, ${\cal D}$ étant l’espace des fonctions numériques indéfiniment dérivables à support compact sur ${\bf R}^n$. On peut remplacer ${\cal D}^{\prime }$ par d’autres espaces : ${\cal E}^{\prime }$, ${\cal S}^{\prime }$, etc...
Le chapitre I étudie toutes les opérations ne faisant intervenir qu’une distribution vectorielle et une ou plusieurs distributions scalaires.
Le paragraphe 1 définit un espace $L\varepsilon M$ associé à deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés arbitraires ; alors ${\cal D}^{\prime }(E)$ n’est autre que ${\cal D}^{\prime }\varepsilon E$. Si ${\cal H}$ est un sous-espace de ${\cal D}^{\prime }$, muni d’une topologie plus fine que la topologie induite, on définit alors le sous-espace. ${\cal H}(E)$ de ${\cal D}(E)$ comme étant ${\cal H}\varepsilon E$. Si $\overrightarrow{T} \in {\cal L}({\cal D};E)$, sa transformée $^{t}\overrightarrow{T}$ est une application linéaire continue de $E^{\prime }_c$ dans ${\cal D}^{\prime }$ ($E^{\prime }_c$ est le dual de $E$, muni de la topologie de la convergence compacte). $^{t}\overrightarrow{T}(\overleftarrow{e^{\prime }})$ se notera aussi $\langle \overrightarrow{T},\overleftarrow{e^{\prime }}\rangle $, pour $e^{\prime }\in E^{\prime }$. Alors on dira qu’une distribution $\overrightarrow{T} \in {\cal D}^{\prime }(E)$ appartient scalairement à ${\cal H}$ appartient à ${\cal H}(E)$ ; les espaces de distribution ${\cal D, D^{\prime },E,E^{\prime }, S, S^{\prime }}$, ont la propriété $\varepsilon $.
Soient ${\cal H,H^{\prime }}$, deux espaces de distributions en dualité (par exemple ${\cal S,S^{\prime }}$). Alors si $S\in {\cal H}$, $T\in {\cal H}^{\prime }$, on peut définir un produit scalaire $S\cdot T$, nombre complexe. Si maintenant $\overrightarrow{S} \in {\cal H}(E)$, $T\in {\cal H}^{\prime }$, on peut définir $\overrightarrow{S} \cdot T \in E$, et cette extension du produit scalaire a les propriétés d’hypocontinuité qu’on attend.
On peut de même étendre le produit multiplicatif, et définir par exemple $\alpha \overrightarrow{T} \in {\cal S}^{\prime }(E)$ pour $\alpha \in {\cal O}_M$, $\overrightarrow{T} \in {\cal S}^{\prime }(E)$, et le produit de convolution et définir par exemple $S*\overrightarrow{T} \in {\cal S}^{\prime }(E)$ pour $S\in {\cal O}^{\prime }_c$, $\overrightarrow{T} \in {\cal S}^{\prime }(E)$. L’image Fourier d’une distribution tempérée $\overrightarrow{T} \in {\cal S}^{\prime }(E)$ se définit par ${\cal F}\overrightarrow{T}(\gamma ) = \overrightarrow{T}({\cal F}\varphi )$ pour toute $\varphi \in {\cal S}$, ou par $\langle {\cal F}\overrightarrow{T}, \overleftarrow{e^{\prime }}\rangle = {\cal F}\langle \overrightarrow{T}, \overleftarrow{e^{\prime }}\rangle $ pour tout $\overleftarrow{e^{\prime }}\in E^{\prime }$ ; la transformation de Fourier ainsi étendue échange multiplication et convolution.
Le chapitre I étudie longuement le cas où $E$ est lui-même un espace de distributions (théorie des noyaux). Si ${\cal H = D}^{\prime }_{L^1}$, $E$ quelconque $\overrightarrow{T} \in {\cal D}^{\prime }_{L^1}(E)$ est dite sommable sur $R^n$ ; si ${\cal H} = ({\cal D}^{\prime }_{L^1})_x$ et $E = {\cal D}^{\prime }_y$, $T\in (D^{\prime }_{L^1})_x ({\cal D}^{\prime }_y)$ est dite partiellement sommable en $x$. Diverses applications aux opérations définies antérieurement sont étudiées.
Le chapitre II étudie les opérations faisant intervenir 2 distributions à valeurs vectorielles. D’abord on étudie diverses topologiques sur un produit tensoriel $L\otimes M$ ; on note ces topologies par $L\otimes _\lambda M$, où $\lambda $ est l’une des 5 lettres $t,\gamma ,\beta ,\pi ,\varepsilon $. Soient alors $L,M,U,V$, 4 espaces vectoriels quasi-complets.
Pour $\xi \in L \mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\otimes }\limits ^{\cap }}_\lambda U$, $\eta \in M \mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\otimes }\limits ^{\cap }}_tV$, on peut définir ``un produit croisé" $\Gamma _{\mu ,\lambda }(\xi ,\eta ) \in ( L \mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\otimes }\limits ^{\cap }}_\mu M) \mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\otimes }\limits ^{\cap }}_\varepsilon (U \mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\otimes }\limits ^{\cap }}_\lambda V)$, dont on étudie systématiquement les propriétés.
Plus généralement si $\varphi ,\chi ,\psi ,\omega $, sont 4 des 5 lettres précédentes, on peut, dans certaines conditions, définir, pour $\xi \in L\mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\otimes }\limits ^{\cap }}_\varphi U$, $\eta \in M \mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\otimes }\limits ^{\cap }}_\chi V$, un produit croisé appartenant à $(L \mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\otimes }\limits ^{\cap }}_ \psi M) \mathrel {\mathop {\hspace{0.0pt}\otimes }\limits ^{\cap }}_\varepsilon (U\otimes _\omega V)$.
Ce produit croisé peut être appliqué aux différentes produits de 2 distributions à valeurs vectorielles.
Soient $E$, $F$, $G$, 3 espaces de Banach, et soit $B$ une application bilinéaire continue de $E\times F$ dans $G$. Soient d’autre part ${\cal H},{\cal K},{\cal L}$, 3 espaces de distributions, et soit $U$ une application bilinéaire hypocontinue $(S\cdot T \rightarrow S\cup T$ de ${\cal H}\times {\cal K}$ dans ${\cal L}$ (par exemple le produit scalaire $S\cdot T$ si ${\cal K} = {\cal H}^{\prime }$, ${\cal L} =$ corps des scalaires ; le produit multiplicatif si ${\cal H} = {\cal S}^{\prime }$, ${\cal K} = O_M$, ${\cal L} = {\cal S}^{\prime }$ ; le produit de convolution si ${\cal H} = {\cal S}^{\prime }$, ${\cal K} = O^{\prime }_c$, ${\cal L} = {\cal S^{\prime }}$. Alors, si l’espace ${\cal H}$ est nucléaire, et si l’on a en outre quelques autres propriétés peu restrictives, on peut définir un produit croisé $\overrightarrow{S} \cup _B \overrightarrow{T} \in {\cal L}(G)$, pour $\overrightarrow{\cal S} \in {\cal H}(E)$, $\overrightarrow{T} \in {\cal K}(F)$ ; ce produit a les propriétés d’hypocontinuité qu’on peut normalement en attendre.
Bibliography
© Annales de L'Institut Fourier - ISSN (électronique) : 1777-5310